Geometría y Física Matemática
El objetivo general de este grupo es el estudio de diferentes tópicos de geometría diferencial y
diversas aplicaciones a problemas de la física matemática y la mecánica geométrica.
La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta sumamente útil para el análisis
de muchos sistemas físicos que van desde el movimiento de partículas y cuerpos rígidos hasta teorías de
campos y ciertos sistemas cuánticos. La física matemática y la mecánica geométrica estudian numerosos
problemas de la mecánica clásica, ciertos problemas de la teoría de control, de control óptimo, de la
mecánica discreta y varios problemas de la mecánica cuántica.
La física matemática es una de las ramas fundamentales de la matemática y se ha desarrollado
exitosamente a lo largo de los siglos, utilizando ideas centrales del análisis matemático, el álgebra y la geometría.
La mecánica geométrica, utilizando distintas técnicas geométricas y de la teoría de grupos y álgebras de Lie,
resulta ser un marco muy conveniente para tratar sistemas con simetrías y sistemas con distintos tipos
de vínculos entre otros problemas de la física.
Lineas de investigación
● Sistemas mecánicos holónomos y noholónomos, ya sea en el marco de la mecánica Lagrangiana como
la mecánica Hamiltoniana.
● Reducción de simetrías de sistemas mecánicos, incluyendo sistemas con vínculos y sistemas mecánicos discretos.
● Integración numérica geométrica en mecánica.
● Teorías clásicas de campos: formalismo unificado utilizando equivalentes de Lepage en el contexto de principios
variacionales de Griffiths.
● Estructuras de Dirac y marcos unificadores para las formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de sistemas mecánicos,
ya sea con variable temporal continua o discreta.
● Dualidad T de Poisson-Lie y su relación con la teoría de sistemas
integrables de Adler-Kostant-Symes.
● Cuantización por deformación de sistemas mecánicos.
Aportes realizados en los últimos años
En el marco de la
reducción de simetrías de sistemas mecánicos holónomos y nohólonomos
se generalizó un conocido proceso de reducción variacional. Así se estableció un procedimiento de reducción de los
llamados sistemas noholónomos generalizados y de orden superior, tanto en el marco Lagrangiano como
Hamiltoniano, y se escribieron
ecuaciones de movimiento reducidas
utilizando técnicas de geometría simpléctica.
También se desarrollaron procesos de
reducción para sistemas dependientes del tiempo
utilizando ideas básicas de
geometría cosimpléctica y para sistemas híbridos.
Como parte de los desarrollos en el área de mecánica discreta, se establecieron procesos de
reducción de simetrías de sistemas mecánicos discretos en etapas, tanto para el caso holónomo como noholónomo.
Para algunos sistemas mecánicos discretos reducidos se lograron probar ciertas
propiedades de conservación de estructuras geométricas.
También se realizaron contribuciones al problema de la
construcción de integradores variacionales
para el caso de sistemas
con vínculos de orden superior y problemas de control óptimo. Asimismo se estudiaron
aspectos numéricos
básicos en el lenguaje de la geometría diferencial.
Dentro de los aspectos geométricos que presentan los sistemas mecánicos discretos,
se desarrolló la idea de
conexión discreta en un fibrado principal
y se propuso una noción de
curvatura para estas conexiones discretas
planteando así el problema de generalizar otros conceptos.
En el marco de las estructuras de Dirac,
se propuso una
noción de sistema de Dirac-Pontryagin
que generaliza los sistemas
implícitos, tanto Lagrangianos como Hamiltonianos. También se propuso un
principio variacional
para algunos de estos sistemas
que recupera, de manera natural, los principios variacionales de los sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos implícitos.
Como parte del trabajo desarrollado en teoría de control, se pudo establecer la
equivalencia
entre el
método de
estabilización de Lyapunov y el método de los Hamiltonianos Controlados (HC).
En particular, se estableció que
en el caso de sistemas simples, el HC es la
manera más general de estabilizar (asintóticamente)
un sistema con una
función de Lyapunov asociada. Se estudiaron las ecuaciones de ambos métodos pudiendo dar una prescripción para hallar
soluciones por cuadraturas
para algunas familias de sistemas. En el caso de sistemas con dos grados de libertad se demostró
que las
conocidas condiciones necesarias para estabilizabilidad asintótica son también suficientes.
En el marco de las teorías clásicas de campos, se escribió un principio variacional de primer orden para
la gravedad de Lovelock
utilizando
principios variacionales de Griffiths
y usando vielbeins como campos.
También se escribió el
formalismo unificado
de la misma teoría utilizando el concepto de
equivalente de Lepage
asociado a un principio de Griffiths, obteniendo así ecuaciones de movimiento en el contexto de
variedades (pre)multisimplécticas.
También se consiguieron resultados que relacionan ciertas anomalías clásicas y cuánticas considerando
el proceso de
cuantización por deformación
y otros sobre la
aplicación momento óptimo.
En el marco de la
Dualidad T de Poisson Lie,
se han obtenido resultados, entre otros, para el caso de
monodromías no triviales y sobre fibrados cotangentes de un grupo de Lie.
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